3.39 \(\int (c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc (a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=208 \[ -\frac {24 i d^4 \text {Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac {24 i d^4 \text {Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac {24 d^3 (c+d x) \text {Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {24 d^3 (c+d x) \text {Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {12 i d^2 (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {12 i d^2 (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {8 d (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {(c+d x)^4 \csc (a+b x)}{b} \]

[Out]

-8*d*(d*x+c)^3*arctanh(exp(I*(b*x+a)))/b^2-(d*x+c)^4*csc(b*x+a)/b+12*I*d^2*(d*x+c)^2*polylog(2,-exp(I*(b*x+a))
)/b^3-12*I*d^2*(d*x+c)^2*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))/b^3-24*d^3*(d*x+c)*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))/b^4+24*d^3*(d
*x+c)*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))/b^4-24*I*d^4*polylog(4,-exp(I*(b*x+a)))/b^5+24*I*d^4*polylog(4,exp(I*(b*x+a)))
/b^5

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.17, antiderivative size = 208, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 10, number of rules used = 6, integrand size = 20, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.300, Rules used = {4410, 4183, 2531, 6609, 2282, 6589} \[ -\frac {24 d^3 (c+d x) \text {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {24 d^3 (c+d x) \text {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {12 i d^2 (c+d x)^2 \text {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {12 i d^2 (c+d x)^2 \text {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {24 i d^4 \text {PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac {24 i d^4 \text {PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac {8 d (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {(c+d x)^4 \csc (a+b x)}{b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^4*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x],x]

[Out]

(-8*d*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((c + d*x)^4*Csc[a + b*x])/b + ((12*I)*d^2*(c + d*x)^2*PolyL
og[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((12*I)*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (24*d^3*(c + d*x)*Po
lyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (24*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^4 - ((24*I)*d^4*PolyLog[4,
-E^(I*(a + b*x))])/b^5 + ((24*I)*d^4*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^5

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 4183

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E^(I*(e + f*
x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*(e + f*x))], x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c +
d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 4410

Int[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp
[((c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^n)/(b*n), x] + Dist[(d*m)/(b*n), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Csc[a + b*x]^n, x], x] /; Fr
eeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[p, 1] && GtQ[m, 0]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rubi steps

\begin {align*} \int (c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc (a+b x) \, dx &=-\frac {(c+d x)^4 \csc (a+b x)}{b}+\frac {(4 d) \int (c+d x)^3 \csc (a+b x) \, dx}{b}\\ &=-\frac {8 d (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {(c+d x)^4 \csc (a+b x)}{b}-\frac {\left (12 d^2\right ) \int (c+d x)^2 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac {\left (12 d^2\right ) \int (c+d x)^2 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac {8 d (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {(c+d x)^4 \csc (a+b x)}{b}+\frac {12 i d^2 (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {12 i d^2 (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {\left (24 i d^3\right ) \int (c+d x) \text {Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac {\left (24 i d^3\right ) \int (c+d x) \text {Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=-\frac {8 d (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {(c+d x)^4 \csc (a+b x)}{b}+\frac {12 i d^2 (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {12 i d^2 (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {24 d^3 (c+d x) \text {Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {24 d^3 (c+d x) \text {Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {\left (24 d^4\right ) \int \text {Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^4}-\frac {\left (24 d^4\right ) \int \text {Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^4}\\ &=-\frac {8 d (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {(c+d x)^4 \csc (a+b x)}{b}+\frac {12 i d^2 (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {12 i d^2 (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {24 d^3 (c+d x) \text {Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {24 d^3 (c+d x) \text {Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {\left (24 i d^4\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\text {Li}_3(-x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac {\left (24 i d^4\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\text {Li}_3(x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}\\ &=-\frac {8 d (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {(c+d x)^4 \csc (a+b x)}{b}+\frac {12 i d^2 (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {12 i d^2 (c+d x)^2 \text {Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {24 d^3 (c+d x) \text {Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {24 d^3 (c+d x) \text {Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {24 i d^4 \text {Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac {24 i d^4 \text {Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 1.36, size = 308, normalized size = 1.48 \[ \frac {8 i d \left (\frac {3 d \left (b^2 (c+d x)^2 \text {Li}_2(-\cos (a+b x)-i \sin (a+b x))+2 i b d (c+d x) \text {Li}_3(-\cos (a+b x)-i \sin (a+b x))-2 d^2 \text {Li}_4(-\cos (a+b x)-i \sin (a+b x))\right )}{b^3}-\frac {3 d \left (b^2 (c+d x)^2 \text {Li}_2(\cos (a+b x)+i \sin (a+b x))+2 i b d (c+d x) \text {Li}_3(\cos (a+b x)+i \sin (a+b x))-2 d^2 \text {Li}_4(\cos (a+b x)+i \sin (a+b x))\right )}{b^3}+2 i (c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x)+i \sin (a+b x))\right )-2 b \csc (a) (c+d x)^4+b \csc \left (\frac {a}{2}\right ) \sin \left (\frac {b x}{2}\right ) (c+d x)^4 \csc \left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )-b \sec \left (\frac {a}{2}\right ) \sin \left (\frac {b x}{2}\right ) (c+d x)^4 \sec \left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )}{2 b^2} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(c + d*x)^4*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x],x]

[Out]

(-2*b*(c + d*x)^4*Csc[a] + (8*I)*d*((2*I)*(c + d*x)^3*ArcTanh[Cos[a + b*x] + I*Sin[a + b*x]] + (3*d*(b^2*(c +
d*x)^2*PolyLog[2, -Cos[a + b*x] - I*Sin[a + b*x]] + (2*I)*b*d*(c + d*x)*PolyLog[3, -Cos[a + b*x] - I*Sin[a + b
*x]] - 2*d^2*PolyLog[4, -Cos[a + b*x] - I*Sin[a + b*x]]))/b^3 - (3*d*(b^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, Cos[a + b*x]
+ I*Sin[a + b*x]] + (2*I)*b*d*(c + d*x)*PolyLog[3, Cos[a + b*x] + I*Sin[a + b*x]] - 2*d^2*PolyLog[4, Cos[a + b
*x] + I*Sin[a + b*x]]))/b^3) + b*(c + d*x)^4*Csc[a/2]*Csc[(a + b*x)/2]*Sin[(b*x)/2] - b*(c + d*x)^4*Sec[a/2]*S
ec[(a + b*x)/2]*Sin[(b*x)/2])/(2*b^2)

________________________________________________________________________________________

fricas [C]  time = 0.55, size = 1021, normalized size = 4.91 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^4*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

-(b^4*d^4*x^4 + 4*b^4*c*d^3*x^3 + 6*b^4*c^2*d^2*x^2 + 4*b^4*c^3*d*x + b^4*c^4 - 12*I*d^4*polylog(4, cos(b*x +
a) + I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 12*I*d^4*polylog(4, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - 12*I*d^4
*polylog(4, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 12*I*d^4*polylog(4, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))
*sin(b*x + a) - (-6*I*b^2*d^4*x^2 - 12*I*b^2*c*d^3*x - 6*I*b^2*c^2*d^2)*dilog(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))*s
in(b*x + a) - (6*I*b^2*d^4*x^2 + 12*I*b^2*c*d^3*x + 6*I*b^2*c^2*d^2)*dilog(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(
b*x + a) - (-6*I*b^2*d^4*x^2 - 12*I*b^2*c*d^3*x - 6*I*b^2*c^2*d^2)*dilog(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))*sin(b
*x + a) - (6*I*b^2*d^4*x^2 + 12*I*b^2*c*d^3*x + 6*I*b^2*c^2*d^2)*dilog(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x
+ a) + 2*(b^3*d^4*x^3 + 3*b^3*c*d^3*x^2 + 3*b^3*c^2*d^2*x + b^3*c^3*d)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1)
*sin(b*x + a) + 2*(b^3*d^4*x^3 + 3*b^3*c*d^3*x^2 + 3*b^3*c^2*d^2*x + b^3*c^3*d)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x +
a) + 1)*sin(b*x + a) - 2*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 - a^3*d^4)*log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2*
I*sin(b*x + a) + 1/2)*sin(b*x + a) - 2*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 - a^3*d^4)*log(-1/2*cos(b*
x + a) - 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2)*sin(b*x + a) - 2*(b^3*d^4*x^3 + 3*b^3*c*d^3*x^2 + 3*b^3*c^2*d^2*x + 3*a*b^2
*c^2*d^2 - 3*a^2*b*c*d^3 + a^3*d^4)*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) - 2*(b^3*d^4*x^3 + 3*
b^3*c*d^3*x^2 + 3*b^3*c^2*d^2*x + 3*a*b^2*c^2*d^2 - 3*a^2*b*c*d^3 + a^3*d^4)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a
) + 1)*sin(b*x + a) - 12*(b*d^4*x + b*c*d^3)*polylog(3, cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - 12*(b*d^
4*x + b*c*d^3)*polylog(3, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 12*(b*d^4*x + b*c*d^3)*polylog(3, -cos
(b*x + a) + I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 12*(b*d^4*x + b*c*d^3)*polylog(3, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*s
in(b*x + a))/(b^5*sin(b*x + a))

________________________________________________________________________________________

giac [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int {\left (d x + c\right )}^{4} \cos \left (b x + a\right ) \csc \left (b x + a\right )^{2}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^4*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^4*cos(b*x + a)*csc(b*x + a)^2, x)

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.12, size = 716, normalized size = 3.44 \[ \frac {8 d^{4} a^{3} \arctanh \left ({\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right )}{b^{5}}-\frac {24 d^{3} c \polylog \left (3, -{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right )}{b^{4}}+\frac {24 d^{3} c \polylog \left (3, {\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right )}{b^{4}}-\frac {8 d \,c^{3} \arctanh \left ({\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right )}{b^{2}}-\frac {24 d^{4} \polylog \left (3, -{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right ) x}{b^{4}}+\frac {24 d^{4} \polylog \left (3, {\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right ) x}{b^{4}}-\frac {24 i d^{4} \polylog \left (4, -{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right )}{b^{5}}+\frac {24 i d^{4} \polylog \left (4, {\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right )}{b^{5}}+\frac {4 d^{4} \ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right ) x^{3}}{b^{2}}+\frac {4 d^{4} \ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right ) a^{3}}{b^{5}}-\frac {4 d^{4} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}+1\right ) x^{3}}{b^{2}}-\frac {4 d^{4} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}+1\right ) a^{3}}{b^{5}}+\frac {24 i d^{3} c \polylog \left (2, -{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right ) x}{b^{3}}-\frac {24 i d^{3} c \polylog \left (2, {\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right ) x}{b^{3}}-\frac {2 i \left (d^{4} x^{4}+4 c \,d^{3} x^{3}+6 c^{2} d^{2} x^{2}+4 c^{3} d x +c^{4}\right ) {\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}}{b \left ({\mathrm e}^{2 i \left (b x +a \right )}-1\right )}-\frac {24 d^{3} c \,a^{2} \arctanh \left ({\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right )}{b^{4}}+\frac {24 d^{2} c^{2} a \arctanh \left ({\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right )}{b^{3}}+\frac {12 i d^{4} \polylog \left (2, -{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right ) x^{2}}{b^{3}}-\frac {12 i d^{4} \polylog \left (2, {\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right ) x^{2}}{b^{3}}+\frac {12 i d^{2} c^{2} \polylog \left (2, -{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right )}{b^{3}}-\frac {12 i d^{2} c^{2} \polylog \left (2, {\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right )}{b^{3}}+\frac {12 d^{2} c^{2} \ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right ) x}{b^{2}}+\frac {12 d^{2} c^{2} \ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right ) a}{b^{3}}-\frac {12 d^{2} c^{2} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}+1\right ) x}{b^{2}}-\frac {12 d^{2} c^{2} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}+1\right ) a}{b^{3}}+\frac {12 d^{3} c \ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right ) x^{2}}{b^{2}}-\frac {12 d^{3} c \ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right ) a^{2}}{b^{4}}-\frac {12 d^{3} c \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}+1\right ) x^{2}}{b^{2}}+\frac {12 d^{3} c \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}+1\right ) a^{2}}{b^{4}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^4*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)^2,x)

[Out]

8/b^5*d^4*a^3*arctanh(exp(I*(b*x+a)))-24/b^4*d^3*c*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))+24/b^4*d^3*c*polylog(3,exp(I*(b*
x+a)))-8/b^2*d*c^3*arctanh(exp(I*(b*x+a)))-24/b^4*d^4*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))*x+24/b^4*d^4*polylog(3,exp(I*
(b*x+a)))*x-24*I*d^4*polylog(4,-exp(I*(b*x+a)))/b^5+24*I/b^3*d^3*c*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x-24*I/b^3*d^3*c
*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x+24*I*d^4*polylog(4,exp(I*(b*x+a)))/b^5-2*I*(d^4*x^4+4*c*d^3*x^3+6*c^2*d^2*x^2+4*c
^3*d*x+c^4)*exp(I*(b*x+a))/b/(exp(2*I*(b*x+a))-1)+12/b^2*d^2*c^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x+12/b^3*d^2*c^2*ln(1-ex
p(I*(b*x+a)))*a-12/b^2*d^2*c^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x-12/b^3*d^2*c^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*a+12/b^2*d^3*c*ln(1-
exp(I*(b*x+a)))*x^2-12/b^4*d^3*c*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^2-12/b^2*d^3*c*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^2+12/b^4*d^3*c*l
n(exp(I*(b*x+a))+1)*a^2+4/b^2*d^4*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^3+4/b^5*d^4*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^3-4/b^2*d^4*ln(exp
(I*(b*x+a))+1)*x^3-4/b^5*d^4*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*a^3-24/b^4*d^3*c*a^2*arctanh(exp(I*(b*x+a)))+24/b^3*d^2*c^2*
a*arctanh(exp(I*(b*x+a)))+12*I/b^3*d^4*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x^2-12*I/b^3*d^4*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x
^2+12*I/b^3*d^2*c^2*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))-12*I/b^3*d^2*c^2*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))

________________________________________________________________________________________

maxima [B]  time = 0.84, size = 2944, normalized size = 14.15 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^4*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

-(2*(4*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + (cos(2*b*x + 2*a)
^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) -
(cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos
(b*x + a) + 1) + 4*(b*x + a)*sin(b*x + a))*c^3*d/((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a
) + 1)*b) - 6*(4*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + (cos(2*
b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x +
a) + 1) - (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)
^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) + 4*(b*x + a)*sin(b*x + a))*a*c^2*d^2/((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*c
os(2*b*x + 2*a) + 1)*b^2) + 6*(4*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*
x + a) + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^
2 + 2*cos(b*x + a) + 1) - (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^
2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) + 4*(b*x + a)*sin(b*x + a))*a^2*c*d^3/((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*
x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*b^3) - 2*(4*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*(b*x + a)*cos(2*b
*x + 2*a)*sin(b*x + a) + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2
+ sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) - (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*l
og(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) + 4*(b*x + a)*sin(b*x + a))*a^3*d^4/((cos(2*b*x + 2*a
)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*b^4) + c^4/sin(b*x + a) - 4*a*c^3*d/(b*sin(b*x + a)) + 6*a^
2*c^2*d^2/(b^2*sin(b*x + a)) - 4*a^3*c*d^3/(b^3*sin(b*x + a)) + a^4*d^4/(b^4*sin(b*x + a)) - ((4*(b*x + a)^3*d
^4 + 12*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 12*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a) - 4*((b*x + a)^3*d^
4 + 3*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (4
*I*(b*x + a)^3*d^4 + (12*I*b*c*d^3 - 12*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (12*I*b^2*c^2*d^2 - 24*I*a*b*c*d^3 + 12*I*a^2*d
^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) + (4*(b*x + a)^3*d^4 + 12*(b*c*d^3 -
a*d^4)*(b*x + a)^2 + 12*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a) - 4*((b*x + a)^3*d^4 + 3*(b*c*d^3 - a*
d^4)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (4*I*(b*x + a)^3*d^4
+ (12*I*b*c*d^3 - 12*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (12*I*b^2*c^2*d^2 - 24*I*a*b*c*d^3 + 12*I*a^2*d^4)*(b*x + a))*sin(
2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), -cos(b*x + a) + 1) - 2*((b*x + a)^4*d^4 + 4*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^3
+ 6*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a)^2)*cos(b*x + a) - (12*b^2*c^2*d^2 - 24*a*b*c*d^3 + 12*(b*x
+ a)^2*d^4 + 12*a^2*d^4 + 24*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a) - 12*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (b*x + a)^2*d^4 +
a^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (-12*I*b^2*c^2*d^2 + 24*I*a*b*c*d^3 - 12*I*(b*x +
a)^2*d^4 - 12*I*a^2*d^4 + (-24*I*b*c*d^3 + 24*I*a*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) +
(12*b^2*c^2*d^2 - 24*a*b*c*d^3 + 12*(b*x + a)^2*d^4 + 12*a^2*d^4 + 24*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a) - 12*(b^2*c^
2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (b*x + a)^2*d^4 + a^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (12*I*b^2*
c^2*d^2 - 24*I*a*b*c*d^3 + 12*I*(b*x + a)^2*d^4 + 12*I*a^2*d^4 + (24*I*b*c*d^3 - 24*I*a*d^4)*(b*x + a))*sin(2*
b*x + 2*a))*dilog(e^(I*b*x + I*a)) - (2*I*(b*x + a)^3*d^4 + (6*I*b*c*d^3 - 6*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (6*I*b^2*c
^2*d^2 - 12*I*a*b*c*d^3 + 6*I*a^2*d^4)*(b*x + a) + (-2*I*(b*x + a)^3*d^4 + (-6*I*b*c*d^3 + 6*I*a*d^4)*(b*x + a
)^2 + (-6*I*b^2*c^2*d^2 + 12*I*a*b*c*d^3 - 6*I*a^2*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 2*((b*x + a)^3*d^4 + 3*(
b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*
x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) - (-2*I*(b*x + a)^3*d^4 + (-6*I*b*c*d^3 + 6*I*a*d^4)*(b*x + a)
^2 + (-6*I*b^2*c^2*d^2 + 12*I*a*b*c*d^3 - 6*I*a^2*d^4)*(b*x + a) + (2*I*(b*x + a)^3*d^4 + (6*I*b*c*d^3 - 6*I*a
*d^4)*(b*x + a)^2 + (6*I*b^2*c^2*d^2 - 12*I*a*b*c*d^3 + 6*I*a^2*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - 2*((b*x + a
)^3*d^4 + 3*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a
))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) - 24*(d^4*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^4*sin(2*b*x + 2*
a) - d^4)*polylog(4, -e^(I*b*x + I*a)) + 24*(d^4*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^4*sin(2*b*x + 2*a) - d^4)*polylog(4, e
^(I*b*x + I*a)) - (24*I*b*c*d^3 + 24*I*(b*x + a)*d^4 - 24*I*a*d^4 + (-24*I*b*c*d^3 - 24*I*(b*x + a)*d^4 + 24*I
*a*d^4)*cos(2*b*x + 2*a) + 24*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, -e^(I*b*x + I*a))
- (-24*I*b*c*d^3 - 24*I*(b*x + a)*d^4 + 24*I*a*d^4 + (24*I*b*c*d^3 + 24*I*(b*x + a)*d^4 - 24*I*a*d^4)*cos(2*b
*x + 2*a) - 24*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, e^(I*b*x + I*a)) - (2*I*(b*x + a
)^4*d^4 + (8*I*b*c*d^3 - 8*I*a*d^4)*(b*x + a)^3 + (12*I*b^2*c^2*d^2 - 24*I*a*b*c*d^3 + 12*I*a^2*d^4)*(b*x + a)
^2)*sin(b*x + a))/(-I*b^4*cos(2*b*x + 2*a) + b^4*sin(2*b*x + 2*a) + I*b^4))/b

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.00 \[ \int \frac {\cos \left (a+b\,x\right )\,{\left (c+d\,x\right )}^4}{{\sin \left (a+b\,x\right )}^2} \,d x \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((cos(a + b*x)*(c + d*x)^4)/sin(a + b*x)^2,x)

[Out]

int((cos(a + b*x)*(c + d*x)^4)/sin(a + b*x)^2, x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \left (c + d x\right )^{4} \cos {\left (a + b x \right )} \csc ^{2}{\left (a + b x \right )}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**4*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)**2,x)

[Out]

Integral((c + d*x)**4*cos(a + b*x)*csc(a + b*x)**2, x)

________________________________________________________________________________________